Mientras me preparaba para el examen general de análisis de la UNAM, me topé con el siguiente problema. Su solución me pareció especialmente bonita por la forma en que combina distintas herramientas del análisis.
Sea $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ continuamente diferenciable en $\mathbb R$ e impar. Demuestre que $$\int_{-1}^1 f^2 \ d\lambda \le \int_{-1}^1 (f^\prime)^2 \ d \lambda.$$
Solución. Si $a \in (0, 1]$, entonces
$$ \begin{align} \left(\int_{-a}^af^\prime \ d\lambda\right)^2 &\le \left(\int_{-a}^a 1 \ d\lambda\right) \cdot \left(\int_{-a}^a (f^\prime)^2 \ d\lambda\right)\\ &= 2a \int_{-a}^a (f^\prime)^2 \ d \lambda\ \le 2a \int_{-1}^1 (f^\prime)^2 \ d\lambda, \end{align} $$ donde la primera desigualdad se debe a Cauchy-Schwarz en $L^2([-a, a])$ y la segunda se debe a que $(f^\prime)^2$ es no negativa.
El Teorema Fundamental del Cálculo establece que $\int_{-a}^{a} f^\prime \ d \lambda=f(a) - f(-a)$. Como $f$ es impar, $f(a) - f(-a) = 2f(a)$. Luego, $$2f(a)^2 \leq a \int_{-1}^{1}(f^\prime)^2 \ d\lambda,$$ para toda $a \in (0, 1]$.
Como $f$ es impar, $f^2$ es par, así que $$\int_{-1}^1f^2\ d\lambda = 2\int_0^1f^2 \ d\lambda.$$ Entonces, $$\begin{align} \int_{-1}^1 f^2 \ d\lambda &= 2\int_0^1f^2 \ d\lambda\ \le \left(\int_0^1 x \ d\lambda\right) \cdot \left(\int_{-1}^1 (f^\prime)^2 \ d\lambda\right) \\ &= \frac{1}{2}\int_{-1}^1 (f^\prime)^2 \ d\lambda \ \le \int_{-1}^1 ( f^\prime)^2 \ d\lambda, \end{align} $$ y la desigualdad requerida se sigue inmediatamente. 🤙🏻