Analisis

Mientras me preparaba para el examen general de análisis de la UNAM, me topé con el siguiente problema. Su solución me pareció especialmente bonita por la forma en que combina distintas herramientas del análisis. Sea $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ continuamente diferenciable en $\mathbb R$ e impar. Demuestre que $$\int_{-1}^1 f^2 \ d\lambda \le \int_{-1}^1 (f^\prime)^2 \ d \lambda.$$ Solución. Si $a \in (0, 1]$, entonces $$ \begin{align} \left(\int_{-a}^af^\prime \ d\lambda\right)^2 &\le \left(\int_{-a}^a 1 \ d\lambda\right) \cdot \left(\int_{-a}^a (f^\prime)^2 \ d\lambda\right)\\ &= 2a \int_{-a}^a (f^\prime)^2 \ d \lambda\ \le 2a \int_{-1}^1 (f^\prime)^2 \ d\lambda, \end{align} $$ donde la primera desigualdad se debe a Cauchy-Schwarz en $L^2([-a, a])$ y la segunda se debe a que $(f^\prime)^2$ es no negativa. ...

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ una función continua tal que $1$ aparece en $f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), \ldots $ para toda $x$ en $\mathbb{R}$. Demuestre que $ f(1) = 1$. Este problema podemos resolverlo con dos ideas clave: Como es habitual en temas de continuidad, utilizaremos alguna consecuencia del Teorema del Valor Intermedio. El único punto fijo de $f$ es $1$, pues de lo contrario, si $p \neq 1$ satisface que $f(p) = p$, entonces $f^{(n)}(p) = p$ para toda $n \in \mathbb N$, y por tanto $1$ jamás aparece en la sucesión $f(p), f(f(p)), \ldots$. En lo siguiente, denotemos por $ f^{(k)}$ la composición de la función $f$ en sí misma $k$ veces, con la convención de que $f^{(0)}(x) = x$ y $f^{(n + 1)}(x) = f(f^{(n)}(x))$. ...