Olimpiada

En el examen de la IMO 2024 se presentó el siguiente problema: Problema 6. Una función $f: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$ se llama acuaesuliana si se satisface la siguiente propiedad: para cada $x, y \in \mathbb Q$, $$ \begin{align} f(x + f(y)) = f(x) + y &\text{ o } f(f(x) + y) = x + f(y) \end{align} $$ Demostrar que existe un entero positivo $c$ tal que para toda función acuaesuliana $f$ hay a lo más $c$ números racionales distintos de la forma $f(r) + f(-r)$ para algún racional $r$, y encontrar el menor valor posible de $c$. ...

El siguiente problema fue presentado en la IMO 2019: Problema. Determinar todas las funciones $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$, $$f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)). $$ Solución. En primer lugar, si $f$ es constante, $f \equiv K$ con $K \in \mathbb{Z}$, entonces $3K = K$ si y solo si $K = 0$. Es decir, la única función constante que satisface la ecuación funcional es $f \equiv 0.$ ...