En este post demostraremos el siguiente teorema:

Teorema 1. El número de polinomios mónicos irreducibles de grado $n$ sobre $GF(p)$ es

\[N_n = \frac{1}{n}\sum_{d \mid n} \mu(d) p^{n/d},\]

donde la sumatoria recorre todos los divisores $d$ de $n$.

Campos finitos

Teorema 2. Sea $p$ un número primo y $n$ un entero positivo. El polinomio $x^{p^n}-x$ es el producto de todos los polinomios mónicos irreducibles sobre $GF(p)$ cuyo grado $d$ divide a $n$.

Demostración: Sea $q(x) \in GF(p)[x]$ un polinomio mónico e irreducible de grado $d$. Sea $K = GF(p)[x] / (q)$ el campo cuya dimensión como espacio vectorial sobre $GF(p)$ es $d$. Si $q(x) \mid x^{p^n} - x$, entonces $K$ es (isomorfo a) un subcampo del campo de descomposición $GF(p^n)$ de $x^{p^n}-x$. Luego, $n = [GF(p^n): GF(p)] = [GF(p^n):K] [K:GF(p)] = [GF(p^n):K] \cdot d$, es decir, $d \mid n$.

Producto de Dirichlet y fórmula de inversión de Möbius

Definición. Definimos a la función de Möbius $\mu$ como sigue:

\(\mu(1) = 1;\) Si $n > 1$, descomonemos a $n$ en potencias de primos $n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$. Entonces

\[\mu(n) = \cases{(-1)^k \ \ \text{si } \alpha_1 = \cdots = \alpha_k = 1, \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{en otro caso.}}\]

Definición. Si $f$ $g$ son dos funciones aritméticas definimos su producto de Dirichlet como la función aritmética $h$ definida por \(h(n) = \sum_{d \mid n} f(d) g\left(\frac{n}{d}\right).\) Escribiremos $f \ast g$ en lugar de $h$.

El plan de esta sección es mostrar que las funciones aritméticas $f$ tales que $f(1) \neq 0$ forman un grupo abeliano bajo el producto de Dirichlet. De esta manera, la fórmula de inversión de Möbius se deduce directamente bajo operaciones básicas de grupos.

Lema. La multiplicación de Dirichlet es asociativa y conmutativa.

Demostración: Sean $f, g$ y $k$ funciones aritméticas. Observe que, si $d$ es divisor de $n$, entonces $\frac{n}{d}$ también es divisor de $n$. Se sigue directamente de este hecho que $(f \ast g)(n) = \sum_{d \mid n} f(d) g\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d \mid n} g(d) f\left(\frac{n}{d}\right) = (g \ast f)(n).$

Para demostrar que el producto es asociativo, vease que

\[\begin{eqnarray} (f \ast g) \ast k &=& \left( \sum_{d \mid n} f(d) g\left(\frac{n}{d}\right) \right) \ast k \\ &=& \sum_{d^\prime \mid n} \left( \sum_{d \mid d^\prime} f(d) g\left(\frac{d^\prime}{d}\right) \right) k\left(\frac{n}{d^\prime}\right) \\ &=& \sum_{abc = n} f(a)g(b)k(c). \end{eqnarray}\]

De manera similar, encontramos que

\[f \ast (g \ast k ) = \sum_{abc = n} f(a)g(b)k(c).\]

El elemento identidad bajo el producto de Dirichlet es el siguiente.

Definición. La función aritmética $I$ definida como

\[I(n) = \cases{1 \ \ \ \text{si } n = 1,\\ 0 \ \ \ \text{si } n > 1.}\]

se le conoce como función identidad.

Lema. Para toda función aritmética $f$ se satisface que $f \ast I = I \ast f = f$.

Demostración: simple cálculo.

Lema. Si $f$ es una función aritmética tal que $f(1) \neq 0$, entonces existe una función aritmética $f^{-1}$ llamada inversa de Dirichlet tal que $f \ast f^{-1} = f^{-1}\ast f = I$. Además, podemos encontrar una expresión para $f^{-1}$ dada por la siguiente relación de recurrencia:

\(f^{-1}(1) = \frac{1}{f(1)}, \ \ \ \ f^{-1}(n) = \frac{-1}{f(1)} \sum_{d \mid n \\ d < n} f\left(\frac{n}{d}\right)f^{-1}(d) \ \ \text{ para } n > 1.\) Demostración:

Del lema anterior se deduce que la función aritmética $u$ definida como $u(n) = 1$ para toda $n$ es la inversa de Dirichlet de la función de Möbius $\mu$.

Teorema 3. El conjunto de todas las funciones aritméticas $f$ tales que $f(1) \neq 0$ forman un grupo abeliano bajo el producto de Dirichlet.

Teorema (Fórmula de inversión de Möbius) La ecuación

\[f(n) = \sum_{d \mid n} g(d),\]

implica

\[g(n) = \sum_{d \mid n} f(d) \mu\left(\frac{n}{d} \right).\]

Demostración: Si $f(n) = \sum_{d \mid n} g(d)$, entonces $f = g \ast u$. Multiplicando por $\mu$ obtenemos $f \ast \mu = (g \ast u) \ast \mu = g \ast (u \ast \mu) = g \ast I = g.$

Resultado principal

Observe que

\[p^n = \sum_{d \mid n} d N_n.\]

Luego, por la fórmula de inversión de Möbius, obtenemos la expresión

\[N_n = \frac{1}{n} \sum_{d\mid n}\mu(d)p^{n/d}.\]

Referencias

  • Simmons, G. J., The Number of Irreducible Polynomials of Degree n over GF(p), Amer. Math. Monthly 77 (1970), pp. 743-745.
  • Apostol, T.M., Introducción a la Teoría Analítica de Números, Editorial Reverté