Problema. Determinar todas las funciones $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$,

\[f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).\]

Solución: En primer lugar, si $f$ es constante, $f \equiv K$, con $K \in \mathbb{Z}$, entonces $3K = K$ si y solo si $K = 0$. Es decir, la única función constante que satisface la ecuación funcional es $f \equiv 0.$

Ahora bien, si $a=0$, obtenemos que $f(0) + 2f(b) = f(f(b))$ para toda $b \in \mathbb{Z}$. Si $b = 0$, tenemos $f(2a) + 2f(0) = f(f(a))$ para toda $a \in \mathbb{Z}$. Y si hacemos $f(f(a + b)) = f(f(0 + (a+b)))$, obtenemos que $f(0) + 2f(a + b) = f(2a) + 2f(b)$ para cualesquiera $a, b \in \mathbb{Z}$. De lo anterior, se deduce que

\[\begin{eqnarray} f(0) + 2f(a + b) &=& f(2a) + 2f(b)\\ &=& f(f(a)) - 2f(0) + 2f(b)\\ &=& f(0)+2f(a) - 2f(0) + 2f(b), \end{eqnarray}\]

que simplificando se obtiene que

\[f(a + b) = f(a) + f(b) - f(0),\]

para cualesquiera $a, b \in \mathbb{Z}$. Nótese que si $g(x) = f(x) - f(0)$, entonces $g$ satisface la ecuación funcional de Cauchy: $g(a + b) = g(a) + g(b)$. Como es bien sabido, las únicas funciones (sobre $\mathbb{Q}$) que satisfacen esta ecuación son de la forma $g(x) = \alpha x $ con $\alpha \in \mathbb{R}$. Por tanto, $f$ es lineal.

Si $f(x) = \alpha x + \beta$, con $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$, entonces de la ecuación funcional obtenemos que

\[2 \alpha(a + b) + 2 \beta = \alpha (\alpha a + \alpha b + \beta),\]

para cualesquiera $a, b \in \mathbb{Z}$. De aquí se deduce que $\alpha = 2$ y $\beta \in \mathbb{Z} $

Demostramos que las únicas funciones que satisfacen la ecuación funcional son $f \equiv 0$ y $f(x) = 2x + \beta$ con $\beta \in \mathbb{Z}$.